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DCF 估值方法

DCF是一种估值方法，主要用于评估企业或项目的未来现金流的现值。现值可以用来指导当前的价格与未来预期收益之间的关系，进而指导投资。

DCF的公式很简单，如果你已经理解了它，如下：

\[ \begin{align*} & DCF = \sum_{t=1}^\infty \frac{CF_t}{(1 + r)^t} &(1) \\\ & DCF = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} + \frac{TV}{(1 + r)^n} &(2) \\\ & TV = \frac{CF_{n+1}}{r - g} \end{align*} \]

这里面有一些参数，决定了DCF的计算过程。

  • \(r\): 折现率
  • \(g\): 永续增长率
  • \(TV\): 终值
  • \(CF_t\): 第t年的现金流(cash flow)
  • \(n\): DCF计算的n年时间

这个公式很简洁，但是问题在于我们该如何理解这个公式呢？本篇文章会讨论我们如何理解这个公式，为什么这个公式是这样计算的，以及如何通过DCF进行评估。

如何理解DCF

我认为，理解DCF，必须要理解如下事情：

  1. 未来的现金流为什么需要折现?
  2. 估值为什么包含未来的现金流？
  3. 采取什么样的方式进行折现？
  4. 终值 \(TV\) 和自然增长率 \(g\) 如何计算？

为什么需要折现

这个问题很简单，因为未来的钱没有现在的钱值钱，最明显的就是金钱的时间价值。 对于现在的钱，我可以立刻用于投资，可以免于通货膨胀或者遭受不确定性。在这个问题上，我没有什么特别大的疑虑，所以不加以阐述。

估值为什么包含未来的现金流

为什么给公司定价可以考虑未来一年的现金流

DCF讨论的就是未来的现金流如何在现在评估，问出这个问题似乎有些反常，或者说这似乎是一个颠扑不破的常识，但我在学习时，还是在这里迷惑了， 为什么估值要考虑未来的现金流呢？

经过一番思考, ...

公司是一种资产，而且可以持续产生现金流（赚钱）。这里为了理解方便，我们假设 股票完全充分的代表公司的价值，并且这里不讨论股价是否被高估或是低估，尽管现实中我们甚至不能够知道公司真正的价值是多少。同样，我们假设公司在盈利/亏损后不进行分红，而是拥有所有的现金流。 所以说我们可以得出股票价格(\(price\)), 流通股数(\(shares\))和公司价值(\(a\))就满足恒等式：

\[ a = price * shares \]

假设公司第0年股票价格为 \(price_0\), 公司A价值\(a_0\)。一年过去了，到了第一年， 公司A经营了一年，产生了新的现金流，记为 \(CF_1\)，那么公司的价值成 \(a_1 = a_0 +CF_1\) （需要强调的是这是一个极其简单的模型， 我们忽略了很多至关重要影响公司价值的因素，但这种假设在理解当前问题上是有价值的）。 对于代表拥有公司所有权的股票持有者，公司价值变动将会反映在股票价格上，因为恒等式 \(a = price * shares\) 始终成立。

现在我们站在第0年起始的位置来看，如果我们可以肯定公司A可以完成 预期 增长，增加现金流 \(CF_1\)，公司会在第一年价值变为 \(a_1\), 那么问题就变成了： 如果我在第0年的市场上想要购买公司A的股票，多少钱是均衡价格？

这里就带来了一个问题，前面说到我们可以肯定公司A完成预期增长，但你凭什么肯定呢？这就是风险，风险是用来衡量偏离预期的指标，这里需要注意并不一定是向下偏移，超过预期向上偏移同样是风险。 为了思考这个问题，我们需要引入一些新的假设，比如无风险债券，来帮助我们排除风险来理解问题本身。

明年天下掉下来10k块钱

理解了无风险债券,我们接下来假设如果明年你可以 确定 天上会掉下来10k块钱, 那么对你来说, 这笔钱是否可以折现到现在? 答案是可以的, 这很自然, 因为未来的该事件是确定的, 现金流被产生了, 所以说在考虑当前资产时候, 是 可以 被考虑到现在的. 而"可以"是由借贷产生的, 如果不允许借贷, 那么未来的收入根本无法对现在产生任何影响.

如果可以确定, 那么未来可以影响现在, 未来获得的资产也将反映在现在的估值上.

无风险债券

此处讨论的无风险债券是指在购买债券后，在约定的到期日可以获得全部的本金和利息. 同样我们讨论静态市场, 利率恒定为5%.

假设目前一张债券票面价值为100元, 为期一年,到期后偿还利率和本金..所以在一年后, 它可以产生5的现金流. 那么我们提出了和上面一样的问题, 在现在的市场上, 买到这张债券需要多少钱?

一种错误的解释是: 因为债券是无风险资产, 所以说它的价值等于它的面额, 未来产生的现金流不应该影响现在的价值, 所以说价格应该等于票面价值. 尽管这种回答看结果是正确的, 但是他并不是一个正确的逻辑链条. 我们在上面提到,只要未来产生了现金流,我就可以折现到现在, 无论什么原因. 所以说尽管债券到期产生的现金流是为了补偿货币的时间价值, 但它仍然是现金流,仍然参与折现. 而折现意味着定价, 会在当前价格上显示. 补偿货币的时间价值是利息存在的原因, 和折现没有因果关系, 所以不存在"因为利息的产生是补偿货币的时间价值, 所以利息产生的现金流不参与折现".

正确的逻辑链条是,未来产生的现金流永远会反映在现在, 未来的利息收入作为现金流,应该被反映到现在的价格里去. 这里考虑到利率长久不变, 那么意味着未来产生的现金流完全被用于补偿货币的时间价值, 未来的现金流对现实价值产生了影响, 但由于货币时间价值补偿的存在, 两者差值为0, 结果导致债券的市场价格等于票面价格. 在这种情况下, 折现率=利率=5%.

需要强调的是,在现实中一般折现率和利率并不相同, 所以相同票面价值的债券的市场价值同样存在区别. 这点我们会在后面分析SGOV的章节看到.

无风险资产: 比债券更高的收益

到这里, 为什么未来获得的收益可以在现在被考虑进来已经明朗了, 简而言之, 未来确定产生的现金流可以影响现在, 例如通过借贷将未来的钱作用于现在.

考察完债券, 我们这时引入另外一种无风险产品, 记作\({RFA}\)(Risk free asset), 相比于债券他的利率是10%, 同样在一年后偿还本金和利息, 市场利率恒定为5%. 假设该资产的票面价值为100, 我们依然考察\({RFA}\)的市场价格应该是多少?

显然\({RFA}\)的价格不再是票面价值100, 但是为什么呢? 一种错误的思路是, 收益超过了对于货币时间价值的补偿, 这种思路同样偏离了主线, 因为他试图去研究现金流为什么产生,而不研究为什么未来的现金流可以影响现在.

同样的, 我们可以采取相同的思路,将未来一年产生的现金流折现到现在, 未来一年10k的收益, 折现到现在就是 $ \frac{CF}{1 + r}$. 折现率如何计算呢, 我们这里不讨论, 但总而言之, 本章节已经说明了为什么未来产生的现金流 可以 被折现到现在. 我们关注为什么"可以", 而不是为什么需要折现.

回到公司本身

我们通过无风险资产的例子论证了为什么未来确定的现金流"可以"在考虑现在时包含, 接下来我们回归主题, 探讨为什么这条规则仍然适用于具有风险的公司? 公司的价值不仅仅是目前公司拥有的有形资产，更重要的是其未来持续产生现金流的能力。所以说股票不仅代表了公司的所有权, 也隐含的包括了对未来现金流能力的所有权。

那么，购买的股票（代表公司）就可以产生未来的现金流。即便产生现金流的多少是不确定的，但我们仍然需要将这些不确定的未来现金流反映到当前的估值中。 这里，我们不是把问题分开并单独衡量风险和现金流的能力，而是通过调整折现率来量化并应对风险。这很合理，因为未来越不确定，未来产生的现金流对于现在的意义就越小，直觉上我们应该给他一个较低的权重。

在估值过程中，我们将未来带有风险的现金流视为一个“期望值”，这个期望值是在考虑了所有可能性和其概率后得出的一个平均预期。然后，为了补偿投资者承担的风险，我们会使用一个更高的折现率（包含风险溢价）来对这个期望现金流进行折现。因此，尽管我们无法消除风险的存在，但通过在折现率中反映风险，使得“将未来现金流折现到现在”的思路对于公司而言依然有效。

可以折现的一些限制

目前将公司未来的现金流折现在现在是正确的，但我们需要考虑我们依然依赖了很多重要的前提条件，如果这些条件失效，那么我们基本不可能对未来产生的现金流折现。 比如“可以折现”高度依赖政权稳定、良好的信用体系以及健全的营商环境和法律制定与执行。 否则的话，重要的借贷手段实现未来现金流影响现在的手段就会扭曲和失效，我们也自然不能依赖折现的思路了。

这也就意味着，我们需要挑选一个健全、法治、政府稳定的资本市场进行投资，才能使DCF等估值方法具备其应用的基础。

采取怎样的方式进行折现

给定一个折现率\(r\), 很自然我们可以得出从现在直到永远现金流的折现金额通过如下公式\((1)\)计算.

公式\((1)\)很简洁，但是问题是使用DCF的时候我们需要估算未来，而离未来越远越不可能准确估计，所以说我们这个从现在算到未来的公式没有什么实践上的意义， 我们需要化简它，让他在现实中是可以使用计算的。最终，我们通过引入终值 \(TV\)(terminate value)来让这个公式更好计算，也即公式\((2)\).

\[ \begin{align*} & DCF = \sum_{t=1}^\infty \frac{CF_t}{(1 + r)^t} &(1) \\\ & DCF = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} + \frac{TV}{(1 + r)^n} &(2) \end{align*} \]

公式\((1)\)和\((2)\)等价，那么我们很自然的可以想出 \(\frac{TV}{(1 + r)^n}\) 是一个收敛的值，那么TV如何计算出来呢?

我们需要引入一个自然增长率\(g\), 也即在预测期n之后，现金流在\([n+1, \infty)\) 区间内以g增长，那么则有关系\({CF}_{n+1} = {CF_n} \cdot (1 + g)\).

\[ \begin{align*} DCF &= \sum_{t=n+1}^\infty \frac{CF_t}{(1 + r)^t} \\ &= \sum_{t=n+1}^\infty \frac{CF_{n+1} \cdot (1 + g)^{t-(n+1)}}{(1 + r)^t} \\ &= \frac{CF_{n+1}}{(1 + r)^n} \cdot \sum_{t=1}^\infty \left(\frac{1 + g}{1 + r}\right)^t \end{align*} \]

然后，我们惊奇的发现这里出现了个等比数列的无穷级数, 满足 \(S=a+ar+ar^2 +ar^3 + \ldots\)

\[ a = \frac{CF_1}{1 + r} \\ r = \frac{1 + g}{1 + r} \]

当\(r < 1\), 即 \(\frac{1 + g}{1 + r} < 1\) => \(g < r\)时，最终的值收敛，我们可以得出TV。反之，如果 \(g > r\)时，我们是无法得到收敛结果的。 这个结果是符合预期的，公司处于稳定状态情况时，增速应该低于现金时间价值，达到收敛状态计算\(TV\). 在长期（尤其是无限期）内， 公司的增长不可能永远超过整个经济体系的折现率 \(r\)，否则公司会无限扩张，最终占据整个经济体，这在现实中不可能。

这里还有一个隐含的结果，无论选择的时间段是3年5年还是10年，DCF算出的结果应该基本一致。 这是因为终值（TV）包含了预测期之后所有无限期的现金流折现值。只要你对终值的假设（包括终值开始的现金流、永续增长率g和折现率r）是合理和一致的， 那么不同的预测期（n）仅仅是把无限期的现金流拆分成两部分（预测期内和终值），其总和应该保持不变。

如果算出来不一致，说明你算错了，

如何使用DCF

DCF的基本概念很简单，将未来的现金流折现在当前，作为企业价值的一部分。那么具体应用的时候，我们仍然会遇到很多具体的问题：

  1. 如何计算折现率\(r\)
  2. 如何计算永续增长率\(g\)
  3. 如何估算未来的现金流
  4. 如何合理的计算 \(TV\)

如何计算折现率r?

折现率r是衡量未来金钱在现在的价值，那么很自然的我们就想到了通货膨胀率这个概念，如果每年产生一定的通货膨胀，表现上货币就消失了过去的购买力， 这也是为什么要折现的核心原因。所以我们注意到折现的概念依赖于通货膨胀，如果没有通货膨胀，或者通货紧缩，折现的计算可能与贬值模式下的计算就不同了，因为可能存在未来的钱比现在的钱更值钱的情况出现。 注意上文我们提到，未来的现金流反映在现在可以通过借贷来实现，那么我们需要支付利率作为时间价值的补偿。

那这里有一个问题，从通货膨胀上来看，货币的时间价值按照通货膨胀率衰减，也即我们需要按照通货膨胀率来进行折现。而从折现实现的途径来看，我们需要以债券的利率完成折现。那么在计算 折现率的时候，究竟是按照通货膨胀，还是按照利率呢？或者说，我们应该如何正确的计算折现率。

首先，通货膨胀和利率是两个独立的概念，没有彼此间的因果关系，尽管他们紧密相连，在实践中美联储经常通过调整利率来调整通货膨胀。费雪公式给出了通货膨胀和名义利率之间的关系, 其中 \(i\)为名义利率，\(r\) 为实际利率，而 \(\pi\) 为通货膨胀率。

\[ i \approx r + \pi \]

无风险资产的折现率：Zero Coupon

由于名义利率已经考虑到了通货膨胀，所以对于无风险资产来说，折现率就是名义利率。这个时候，我们可以关注一种零风险债券，zero coupon bond. 这种债券通常为长期债券，它在到期前不支付任何利息（票息），所有的收益都体现在买入时的折价和到期时获得的面值之间的差额。 零息债券完美符合了我们在学习DCF时候的场景，也即在未来产生现金流，如何折现到现在，这有一个成熟的公式：

\[ PV = \frac{FV}{(1+r)^N} \]

\(PV\)是现价，\(TV\)是终值，\(r\)是市场上的零息利率，\(N\)是距离债券到期的时间。

这里我们看到了熟悉的折现公式，这很合理，但需要注意的是我们的折现率采取的是 现在 的市场利率，你可以在美国财政部官网找到这些目前的数据。这就产生了一个问题，尽管债券是无风险资产，但未来的利率不确定，为什么我们在计算折现的时候仍然使用当前的利率呢？

换句话说，当前公式假设了N年直到到期，市场汇率维持不变始终为r，那么这其实是一个和现实不符的重要假设，那为什么这个公式还准确呢？同样的，DCF在计算折现率的时候也采用了这个假设。

这个问题的回答在于我们如何理解利率\(r\), 上面假设了一个静态的利率，但实践中这个利率是市场均衡的结果，代表了对未来债券收益的共识，这个回报率已经考虑了市场对未来短期利率走势（是会上升还是下降）、通胀预期、经济增长前景、以及美联储货币政策等所有信息的共识性预期。

所以说，我们在计算折现的时候，并不是~假设了N年直到到期，市场汇率维持不变始终为r~， 这是一个错误的思路，尽管看起来产生了相同的结果。而是认为市场形成的价格充分反映了对未来的预期，是用来衡量资产现在价格的最佳指标，由于我们不可能比市场做得更好，我们找不到比市场数据本身更好反应未来的数据，所以我们使用当前市场达成对未来最佳估计的数据，对未来进行估算。

所以结论是，对于无风险无息债券，折现率等于现在市场的利率，一个已经包含了通货膨胀和对未来预期的价格。

无风险资产的折现率：Coupon Bond

Coupon Bond，也即附息债券，在债券的生命周期内，发行人会定期（通常是每年或每半年）向债券持有人支付固定金额的利息。这个金额通常是债券面值（Face Value 或 Par Value）乘以票面利率（Coupon Rate）来计算的。

我们开始分析，具有产生现金流的能力，到期后会偿还票面价值，于是我们写一个折现公式用来表示当前定价，正如下面的公式。 乍一看，惊奇的发现，欸这个玩意怎么长得和DCF的样子这么像呢？仔细一看，哦，原来他就是一个DCF公式。再一看产生现金流的能力，欸一模一样！

\[ PV = \sum_{t=1}^{N} \frac{C}{(1+r_t)^t} + \frac{FV}{(1+r_N)^N} \]

那么在我们对现在进行估值的时候，我们可以直接使用市场达成均衡的利率\(r\)代入公式。在这个情况下，未来究竟是分红一次，还是分红多次，我们计算的思路都是一样的，无非是附息债券需要求和。

风险资产：风险溢价

TODO

如何使用DCF指标

TODO: 如何使用DCF指标来指导投资行为？